中科大組合數學試卷 - 下載本文

2011年1月13日組合數學

1、有n個正整數組成序列S:x1,x2,...,xn,求證:該序列中一定存在連續的一段

S1:xi,...,xj(1?i?j?n),使得該子序列的和能夠被n整除:n|?k?ixk

kkk?12、寫出如下等式的組合含義:C0?C1k?...?Cn?Cn?1

j

3、 A、B兩個玩家輪流拿n個硬幣,每人每次可以拿1個或2個。問:第一次和最后一次都是A拿的方案書是多少?

4、 求滿足如下方程正的解的個數:x1?x2?x3?x4?18,其中,1?xi?8,xi?Z*

5、 求

(1)n位十進制整數中不出現1或2或3的個數

(2)直線x+ky=n在第一象限與坐標軸圍出的區域中覆蓋的整數點的個數(在線上和坐標軸上的點也包括在內)

6、 A、B兩種球各2個放在2個盒子中,問在如下兩種情況下各有杜少中放法? (1)2個盒子不同 (2)2個盒子相同

7、 在一條直線上放N個k中顏色的球,問在如下兩種情況下放球的方案數: (1)顏色數最多k種 (2)顏色數恰等于k

2012-2013年第一學期

一、(10分)設a1,a2,...,a100是由數字1和2組成的序列,已知從任一數開始的順序10個數的和不超過16,即ai?ai?1?...?ai?9?16,1?i?91,則存在h和k,k > h,使得

ah?1?...?ak?39

二、(12分)

(1)是否存在參數為b=12,k=4,v=16,r=3的BIBD?

(2)設樣品是4?4棋盤上的16個方格,定義區組如下:對于每個給定的方格,取與其在同一行或同一列的6個方格(但不包括該方格本身)。因此棋盤上的16個方格中的每個方格

都以這種方式確定一個區組。證明折是一個BIBD。 三、(16分)令S?{1,2,...,n?1},n?2,T?{(x,y,z)|x,y,z?s,x?z,y?z},證明: (1)|T|??kk?1n2

?n?1??n?1?(2)|T|????2??

23????

四、(16分)設長為n個三元序列(即用0,1,2組成序列)中1與2的個數之和為奇數的序列個數為an。

(1)試建立{an}的遞歸關系(不同求解)

(2)用生成函數法求出an(要求:不能使用第1小題建立的遞推關系)

五、(8分)一個項鏈由7顆珠子裝飾成的,其中兩顆珠子是紅色的,3顆是藍色的,其余兩顆是綠色的,問有多少種裝飾方案? 六、(8分)四位十進制a b c d,試求a+b+c+d=31的數的數目。 七、(14分)

(1)在有5個0,4個1組成的字符串中,出現01或10的總次數為4的字符串,有多少個?

(2)在有m個0,n個1,組成的字符串中,出現01或10的總次數為k的字符串,有多少個? 八、(16分)來自n個國家的5n個人站在一排,每個國家5個人。證明: (1)求每個國家的5個人都站在一起的排列個數。

(2)證明:使得每一個人都挨著他的一個同胞而站的排列個數為:

?n??n?n?n?120[(2n)!???(2n?1)!???(2n?2)!?...?(?1)??n!] ?1??2??n?n





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