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3 -22 一質量為m 的地球衛星,沿半徑為3RE 的圓軌道運動, RE為地球的半徑.已知地球的質量為mE.求:(1) 衛星的動能;(2) 衛星的引力勢能;(3) 衛星的機械能. 解 (1) 衛星與地球之間的萬有引力提供衛星作圓周運動的向心力,由牛頓定律可得

mEmv2 G?m3RE?3RE?2則

mm1Ek?mv2?GE

26REmEm 3RE(2) 取衛星與地球相距無限遠(r→∞)時的勢能為零,則處在軌道上的衛星所具有的勢能為

EP??G(3) 衛星的機械能為

E?Ek?EP?GmEmmmmm?GE??GE 6RE3RE6RE3 -25 如圖所示,質量為m、速度為v 的鋼球,射向質量為m′的靶,靶中心有一小孔,內有勁度系數為k 的彈簧,此靶最初處于靜止狀態,但可在水平面上作無摩擦滑動.求子彈射入靶內彈簧后,彈簧的最大壓縮距離.

題 3-25 圖

解 設彈簧的最大壓縮量為x0 .小球與靶共同運動的速度為v1 .由動量守恒定律,有

mv??m?m??v1 (1)

又由機械能守恒定律,有

121122mv??m?m??v1?kx0 (2) 222由式(1)、(2)可得

x0?mm?v

k?m?m??3 -27 兩質量相同的物體發生碰撞,已知碰撞前兩物體速度分別為:?v0i和v0j,碰撞后一物體速度為?v0i,求:(1)碰撞后另一物體的速度v;(2)碰撞中兩物體損失的機械能共為多少?

解 (1)由動能守恒得

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?mv0i?mv0j??m碰撞后另一物體速度為

v0i?mv 2v??通過上式,讀者還可求得速度大小和方向.

(2) 碰撞后另一物體速度大小為

v0i?v0j 2v?(?v0252)?v0?v0 2211v1212?E?[mv2?m(0)2]?(mv0?mv0)22222則

12??mv04“-”號表示碰撞后系統機械能減少了.

第四章 剛體的轉動

4-11 質量為m1和m2的兩物體A、B分別懸掛在圖(a)所示的組合輪兩端.設兩輪的半徑分別為R和r,兩輪的轉動慣量分別為J1和J2,輪與軸承間、繩索與輪間的摩擦力均略去不計,繩的質量也略去不計.試求兩物體的加速度和繩的張力.

題 4-11 圖

解 分別對兩物體及組合輪作受力分析,如圖(b).根據質點的牛頓定律和剛體的轉動定律,有

?P1?FT1?m1g?FT1?m1a1 (1) FT?2?P2?FT2?m2g?m2a2 (2)

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FT1R?FT2r??J1?J2?α (3) FT?1?FT1,FT?2?FT2 (4)

由角加速度和線加速度之間的關系,有

a1?Rα (5) a2?rα (6)

解上述方程組,可得

a1?m1R?m2rgR 22J1?J2?m1R?m2rm1R?m2rgr

J1?J2?m1R2?m2r2a2?J1?J2?m1r2?m2RrFT1?m1g 22J1?J2?m1R?m2rJ1?J2?m1R2?m1RrFT2?m2g

J1?J2?m1R2?m2r24-12 如圖所示裝置,定滑輪的半徑為r,繞轉軸的轉動慣量為J,滑輪兩邊分別懸掛質量為m1和m2的物體A、B.A置于傾角為θ的斜面上,它和斜面間的摩擦因數為μ,若B向下作加速運動時,求:(1)其下落加速度的大小;(2)滑輪兩邊繩子的張力.(設繩的質量及伸長均不計,繩與滑輪間無滑動,滑輪軸光滑.)

題 4-12 圖

解 作A、B和滑輪的受力分析,如圖(b).其中A是在張力FT1、重力P1,支持力FN和摩擦力Ff的作用下運動,根據牛頓定律,沿斜面方向有

FT1?m1gsinθ?μm1gcosθ?m1a1 (1)

而B則是在張力FT2和重力P2的作用下運動,有

m2g?FT2?m2a2 (2)

由于繩子不能伸長、繩與輪之間無滑動,則有

a1?a2?rα (3)

對滑輪而言,根據定軸轉動定律有

FT?2r?FT?1r?Jα (4)

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FT?1?FT1,FT?2?FT2 (5)

解上述各方程可得

a1?a2?m2g?m1gsin???m1gcos? 2m1?m2?J/rm1m2g?1?sinθ?μcosθ???sinθ?μcosθ?m1gJ/r2 FT1?m1?m2?J/r2m1m2g?1?sinθ?μcosθ??m2gJ/r2 FT2?2m1?m2?J/r4-16 一質量為m′、半徑為R的均勻圓盤,通過其中心且與盤面垂直的水平軸以角速度ω轉動,若在某時刻,一質量為m的小碎塊從盤邊緣裂開,且恰好沿垂直方向上拋,問它可能達到的高度是多少?破裂后圓盤的角動量為多大?

題 4-16 圖

解 (1)碎塊拋出時的初速度為

v0?ωR

由于碎塊豎直上拋運動,它所能到達的高度為

2v0ω2R2 h??2g2g(2)圓盤在裂開的過程中,其角動量守恒,故有

L?L0?L?

式中L?1m?R2ω為圓盤未碎時的角動量;L??mR2ω為碎塊被視為質點時,碎塊對軸的2角動量;L為破裂后盤的角動量.則

?1?L??m??m?R2ω

?2?4-17 在光滑的水平面上有一木桿,其質量m1=1.0kg,長l=40cm,可繞通過其中點并與之垂直的軸轉動.一質量為m2=10g的子彈,以v =2.0×102m· s的速度射入桿端,其方向與

-1

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桿及軸正交.若子彈陷入桿中,試求所得到的角速度.

題 4-17 圖

解 根據角動量守恒定理

J2ω??J1?J2?ω?

式中J2?m2?l/2?為子彈繞軸的轉動慣量,J2ω為子彈在陷入桿前的角動量,ω=2v/l為子

2彈在此刻繞軸的角速度.J1?m1l2/12為桿繞軸的轉動慣量.可得桿的角速度為

ω??J2ω6m2v??29.1s?1

J1?J2?m1?3m2?

4-18 一質量為20.0kg的小孩,站在一半徑為3.00m、轉動慣量為450kg· m2的靜止水平轉臺的邊緣上,此轉臺可繞通過轉臺中心的豎直軸轉動,轉臺與軸間的摩擦不計.如果此小孩相對轉臺以1.00m·s1的速率沿轉臺邊緣行走,問轉臺的角速率有多大?

解 由相對角速度的關系,人相對地面的角速度為

ω?ω0?ω1?ω0?v R由于系統初始是靜止的,根據系統的角動量守恒定律,有

J0ω0?J1?ω0?ω1??0

式中J0為轉臺對轉臺中心軸的轉動慣量,J1=mR2為人對轉臺中心軸的轉動慣量.由式(1)、(2)可得轉臺的角速度為

mR2vω0????9.52?10?2s?1 2J0?mRR式中負號表示轉臺轉動的方向與人對地面的轉動方向相反.

4-21 如圖所示,長為l、質量為m的均質桿,可繞點O在豎直平面內轉動,令桿至水平位置由靜止擺下,在豎直位置與質量為

m的物體發生完全非彈性碰撞,碰撞后物體沿摩擦因2數為?的水平面滑動,試求此物體滑過的距離s.

分析 本題可分為三個過程,即細桿繞點O的轉動過程,細桿與物體的完全非彈性碰撞以及碰撞后物體在粗糙水平面上的滑動過程。注意前兩個過程,只能運用剛體定軸轉動所滿足的

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