2014年本科數學建模優秀論文 - 下載本文

構造哈密頓函數

H??T?f??rf1??vf2???f3???f4??mf5

F?1FF2 ??rv??v(sin??2?r?)???????[?(cos??2v?)]??m(?)

mrrmve?F ?(r?vsin????cos??mmr)?H2?H1(F,?)?H2(17)

mrve 其中H2 是與控制變量無關的部分,根據Pontryagin 極大值原理,最優控制使H最大,也就是 使H1最大,從H1的表達式易知最優控制律為

?vr???-arctan()??????Fmax,s(t)?0?? (18) F???0,s(t)?0??其他,s(t)?0????vsin???cos??ms(t)????mmrve?

最佳軟著陸應滿足如下條件:

1)初始條件:x(t0)?(r0,0,0,?0,m0)T

?r(tf)?rf???2)終端條件:G(x(tf))??v(tf)?vf??0

??(t)?0??f??H,展開為 ?x2??v??F??2???[????(cos??2v?)v32?rrrm?????2?????r?vr??(19) ????0???2v?????2r??????vr???vFsin???Fcos??????m2mrm2??G(xf)T?J?()? (20) 4)橫截條件: ?f??x?x5)中間約束: Fi?Fmax,?min??i??max ??-3)共軛方程:? 選擇共軛方程的初始值,根據終端條件求解共軛方程和動力學方程(14),就可以求得最終的 結果。

根據上述分析,運用MATLAB編寫了相關求解程序,得到以下分析求解結果: 1)初始條件: 未修正:

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r0?1752013?m?vro?0?0?0?0?9.684403?10?4radsm0=2400?kg?經修正:

??

v0?0 ?0?0

m0?2400(kg)r0?1751776m?0?9.685599?10

?4?rads?

2)終端約束:

v(tf)?0 ?(tf)?0

r(tf)?1736772m3)最佳軌道的終端參數:

t?438.9sm?1301.0kgr(tf)?1736778m

5.2.2 快速調整段

根據主發動機推力和著陸器姿態勻速過渡的要求,可采用重力轉彎制導。 5.2.2.1 重力轉彎過程描述 對于快速調整段,由于下降距離以及從主減速段得到的3km處速度與z軸夾角很小,所以可以認為在這一個階段時,可以不考慮月球的曲率,認為嫦娥三號在平坦表面上運動,受垂直于表面的均勻引力場作用,其大小為g且沿z軸方向,制動力沿著嫦娥三號運動方向的反方向,則下降軌跡在同一平面內,其動力學方程可以描述為:

F?gcos? mgsin???? ? (21)

v???v RF??m

ve??? v式中v為著陸器的斜向速度;F為制動發動機的推力(只能為0或正常數F0);m為著陸器的質量;g為月球引力加速度;ψ為姿態角;R為著陸器到月面的斜向距離(沿速度方向); ve為制動發動機比沖。 在快速調整階段,通過對發動機的開關來控制著陸器的斜向速度,當著落器底面與月面水平時,

關閉發動機。

5.2.2.2 重力轉彎制導率設計 在快速調整段,假定姿態控制系統可以保證制動發動機的推力方向與嫦娥三號的速度方向始終相反,因而著陸器的唯一控制輸入為制動發動機的推力,在最終時刻,由實際數據可知,著陸器的

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質量變化不大,可認為是恒值,著陸器的姿態角很小,也可忽略,那么簡化著陸器的動力學方程為:

??? v

F?g (22) m0???v R

式中,m0為著陸器質量的初值.顯然,此系統的燃料最優控制是一個bang-bang控制問題,其切換函數為:

?(R,v)?v2?2(g?F/m0)R (23)

由于在著陸過程中,R始終大于零,則可以選取重力轉彎軟著陸的滑動變量如下:

s??v?2(a?g)R (24)

通過滑動變量來控制推力F的開關,經過MATLAB計算,可以得到F的大小,方向隨時間t的變化圖像,以及質量m隨時間t的減少圖像。

5.2.3 粗避障段 5.2.3.1 閾值分析 由于粗避障段的主要任務是避開大的隕石坑,實現在設計著陸點上方100m處懸停,并初步確定著陸地點。我們在該階段考慮如何簡化運算來基于粗障礙識別和速度增量綜合確定的安全著陸區,,避開大障礙選取較為平坦的點,又在原預定著陸點附近,實現綜合最優;減少時間消耗以及燃料消耗。

設灰度值圖像用函數f(x)表示,閾值分割圖像的原理可描述如下: g(x,y)??

?ZE, f(x,y)?Z (25)

?ZB, others式(25)中,Z為閾值,是圖像f(x)灰度級范圍內的任一個灰度級集合,Z?,Z1和Zk(Z1,Zk)是根據需要選擇出來的目標或者背景灰度值。圖16給出了附件三的灰度直方圖。可明顯看出,像素的灰度值大部分集中在85到110之間,我們可以認為小于85的點為坑內的點,而大于110的為峰處的點,這就為利用不同的閾值對圖像進行分割帶來了便利。

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圖16 附件三的灰度直方圖

對圖像進行閾值分析,可以得到月球坑的圖像如圖17所示:

圖17 2400m處月球表面二值圖像

5.2.3.2 落月初步地點 基于我們的目標是避免落入黑色的區域內,以油耗最少為原則,盡可能選擇距離中心點水平距離較近,且相對平坦的位置作為初步的落月地點。 考慮計算圖像中白色區域地形平坦程度,即一個區域內總點數之間的方差大小,我們選擇100×100的區域來計算其方差。方差計算公式:

1nS??[(xi?x)]2 (26)

ni?12 根據方差計算所得結果,畫出平坦程度方差圖,如圖18所示,圖像中灰度越高(即顏色越亮)的點,越是不平坦或者是月面坑,因此,選取灰度較低的點作為降落點。

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圖18 平坦程度方差圖

根據圖17和圖18結果,我們選取中心點(1150,1150)為初步落月地點,因為該點處較為平坦,而且只有豎直方向的運動,方便計算。 5.2.3.3 粗避障階段制導方法 粗避障階段要求從2400m高度到100m高度實現懸停,在2400m高度處速度為快速調整段末尾的速度,在粗避障段我們讓嫦娥三號做勻減速運動,來實現在100m處的懸停,由于在此階段燃料消耗較少,我們可以認為質量帶來的影響可以忽略。 我們建立動力學方程:

F?g?a (27) mv2a?

2h通過5.2.2所得到的v= 71.2707m/s,以及已知條件g=1.6291,h=2300,可以得到F以及m的圖像。

F的方向垂直于月球面。

5.2.4精避障段 5.2.4.1圖像預處理

通過imread()函數讀取附件四中圖片中1000×1000個點的高度,發現圖像中存在較大的噪聲。經分析知,圖像中的噪聲主要包含加性噪聲和隨機干擾噪聲,為此采用中值濾波器對圖像進行預處理。

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